Write the dual for each of the following primal problems Max

Write the dual for each of the following primal problems: Maximize z = -5x_1 + 2x_2 subject to -x_1 + x_2 lessthanorequalto -2 2x_1 + 3x_2 lessthanorequalto 5 x_1, x_2 greaterthanorequalto 0 Minimize z = 6x_1 + 3x_2 subject to 6x_1 - 3x_2 + x_3 greaterthanorequalto 2 3x_1 + 4x_2 + x_3 greaterthanorequalto 5 x_1, x_2, x_3 greaterthanorequalto 0 Maximize z = x_1 + x_2 subject to 2x_1 + x_2 = 5 3x_1 - x_2 = 6 x_1, x_2 unrestricted

Solution

a) solve by simplex method:

x₁     x₂     s₁     s₂     s₃     s₄     z           
-----------------------------------------------------------
-1     1      1      0      0      0      0      -2   
2      3      0      1      0      0      0      5    
1      0      0      0      -1     0      0      0    
0      1      0      0      0      -1     0      0    
5      -2     0      0      0      0      1      0    

x₁     x₂     s₁     s₂     s₃     s₄     z           
-----------------------------------------------------------
-1     1      1      0      0      0      0      -2   
2      3      0      1      0      0      0      5    
-1     0      0      0      1      0      0      0    
0      1      0      0      0      -1     0      0    
5      -2     0      0      0      0      1      0    

x₁     x₂     s₁     s₂     s₃     s₄     z           
-----------------------------------------------------------
-1     1      1      0      0      0      0      -2   
2      3      0      1      0      0      0      5    
-1     0      0      0      1      0      0      0    
0      -1     0      0      0      1      0      0    
5      -2     0      0      0      0      1      0    

x₁     x₂     s₁      s₂      s₃     s₄     z           
---------------------------------------------------------------
-1.7    0      1      -0.33    0      0      0      -3.7
0.67   1      0      0.33    0      0      0      1.7  
-1       0      0      0         1      0      0      0    
0.67    0      0      0.33    0      1      0      1.7  
6.3      0      0      0.67    0      0      1      3.3   

hence Optimal Solution: z = 3.3; x₁ = 0, x₂ = 1.7