use the definition of Laplace transform to find the laplace

use the definition of Laplace transform to find the laplace transform of f(t)=te^-t

Solution

definition of Laplace transformation,

. . . . .
F(s) = f(t) e^(-st) dt
. . . . 0


. . . . .
F(s) = te^(-t) e^(-st) dt
. . . . 0


. . . . .
F(s) = te^((-1 - s)t) dt
. . . . 0


. . . . . . . . . . .
F(s) =1/(-1 - s) t d(e^((-1 - s)t))
. . . . . . . . . . 0



. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
F(s) =1/(-1 - s) t (e^((-1 - s)t)) - 1/(-1 - s) e^((-1 - s)t) dt
. . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . .. . .0



. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .
F(s) = (1/(-1 - s)) t (e^((-1 - s)t)) - (1/(-1 - s)²) e^((-1 - s)t) . . |
. . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . 0

. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. .
F(s) = (1/(-1 - s)) t (e^(-(s +1)t)) - (1/(-1 - s)²) e^(-(s +1)t) . . |
. . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . .0

F(s) = 0 -(-1/(-1 - s)²)


F(s) = 1/(s +1)²