Use decomposition into partial fractions to evaluate the int

Use decomposition into partial fractions to evaluate the integral integral_C 2/z^2 - 1 dz where C is the circle |z-1|=1/2 positively oriented.

Solution

1 (z 2 + 1)3 = A1 z + A2 (z ) 2 + A3 (z ) 3 + B1 z + + B2 (z + ) 2 + B3 (z + ) 3 A1 = 1 2 d 2 dz2 (z ) 3 (z 2 + 1)3 z= = 1 2 d 2 dz2 1 (z + ) 3 z= = 3 16 A2 = d dz (z ) 3 (z 2 + 1)3 z= = d dz 1 (z + ) 3 z= = 3 16 A3 = (z ) 3 (z 2 + 1)3 z= = 1 (z + ) 3 z= = 8 We don’t need to compute the other numerators since e z (z + ) n is analytic on and within C for any integer, and therefore Z C e z (z + ) n dz = 0. Finally Z C e z (z 2 + 1)3 dz = A1 Z C e z z dz + A2 Z C e z (z ) 2 dz + A3 Z C e z (z ) 3 dz = 2A1e z | z= +2A2 d dz (e z) | z= +A3 d 2 dz2 (e z) | z= = 3 8e + 3 8e + 8e = 7 8e