Find A1 and B1 if they exist by climintation on AI and BI A

Find A^-1 and B^-1 (if they exist) by climintation on [A|I] and [B|I]. A = [2 1 1 1 2 1 1 1 2] B = [2 -1 -1 -1 2 -1 -1 -1 2]

Solution

since determinant of A is non zero , we can calculate its inverse by elimination method

we take augmented matrix [A|I]

herewe apply operations on augmented matrix,  we convert matrix A into identity matrix , so the transformation of identity matrix gives us inverse of A matrix.

a)

   A1   A2   A3   A1   A2   A3
1   2   1   1   1   0   0
2   1   2   1   0   1   0
3   1   1   2   0   0   1
Find the pivot in the 1st column and swap the 2nd and the 1st rows

   A1   A2   A3   A1   A2   A3
1   1   2   1   0   1   0
2   2   1   1   1   0   0
3   1   1   2   0   0   1
Multiply the 1st row by 2

   A1   A2   A3   A1   A2   A3
1   2   4   2   0   2   0
2   2   1   1   1   0   0
3   1   1   2   0   0   1
Subtract the 1st row from the 2nd row and restore it

   A1   A2   A3   A1   A2   A3
1   1   2   1   0   1   0
2   0 -3   -1   1   -2   0
3   1   1   2   0   0   1
Subtract the 1st row from the 3rd

   A1   A2   A3   A1   A2   A3
1   1   2   1   0   1   0
2   0   -3   -1   1   -2   0
3   0   -1   1   0   -1   1
Find the pivot in the 2nd column (inversing the sign in the whole row) and swap the 3rd and the 2nd rows

   A1   A2   A3   A1   A2   A3
1   1   2   1   0   1   0
2   0   1   -1   0   1   -1
3   0   -3   -1   1   -2   0
Multiply the 2nd row by 2

   A1   A2   A3   A1   A2   A3
1   1 2 1   0   1   0
2   0 2 -2   0   2   -2
3   0 -3   -1   1   -2   0
Subtract the 2nd row from the 1st row and restore it

   A1   A2   A3   A1   A2   A3
1   1   0   3   0   -1   2
2   0   1   -1   0   1   -1
3   0   -3   -1   1   -2   0
Multiply the 2nd row by -3

   A1   A2   A3   A1   A2   A3
1   1   0   3   0   -1   2
2   0   -3   3   0   -3   3
3   0   -3   -1   1   -2   0
Subtract the 2nd row from the 3rd row and restore it

   A1   A2   A3   A1   A2   A3
1   1   0   3   0   -1   2
2   0   1   -1   0   1   -1
3   0   0   -4   1   1   -3
Make the pivot in the 3rd column by dividing the 3rd row by -4

   A1   A2   A3   A1   A2   A3
1   1   0   3   0   -1   2
2   0   1   -1   0   1   -1
3   0   0   1   -1/4   -1/4   3/4
Multiply the 3rd row by 3

   A1   A2   A3   A1   A2   A3
1   1   0   3   0   -1   2
2   0   1   -1   0   1   -1
3   0   0   3   -3/4   -3/4   9/4
Subtract the 3rd row from the 1st row and restore it

   A1   A2   A3   A1   A2   A3
1   1   0   0   3/4   -1/4   -1/4
2   0   1   -1   0   1   -1
3   0   0   1   -1/4   -1/4   3/4
Multiply the 3rd row by -1

   A1   A2   A3   A1   A2   A3
1   1   0   0   3/4   -1/4   -1/4
2   0   1   -1   0 1 -1
3   0   0   -1   1/4   1/4   -3/4
Subtract the 3rd row from the 2nd row and restore it

   A1   A2   A3   A1   A2   A3
1   1   0   0   3/4   -1/4   -1/4
2   0   1   0   -1/4   3/4   -1/4
3   0   0   1   -1/4   -1/4   3/4
There is the inverse matrix on the right

   A1   A2   A3   A1   A2   A3
1   1   0   0   3/4   -1/4   -1/4
2   0   1   0   -1/4   3/4   -1/4
3   0   0   1   -1/4   -1/4   3/4

Hence the inverse of A matrix is

   A1   A2   A3
1   3/4   -1/4   -1/4
2   -1/4   3/4   -1/4
3   -1/4   -1/4   3/4

b) the determinant of matrix b = 0 so inverse doesnot exist.